Seni Matematika 0,968253… - 0,047619… = 58/61 ????

 DISINI KAMI PECAHAN BERULANG ,PLEASE, KEMBALIKAN KAMI KE ASAL KAMI, PECAHAN SEDERHANA

 Pada matematika pasti kita jumpai bilangan pecahan, apakah pecahan biasa, pecahan campuran,pecahan decimal ,pecahan persen ataupun pecahan permil. Merubah suatu jenis pecahan yang satu menjadi pecahan yang lain… tidak lah sulit,tetapi ada suatu ketika agak sulit merubahnya seperti pecahan decimal menjadi pecahan biasa,seperti judul postingan diatas,mengembalikanya ke asalnya. 

Contoh  :  1/8   =  0,125. Untuk mengembalikan / merubah  0.125  menjadi 1/8 tidaklah sulit bukan?  dengan cara  yang umum  kita dapat mengembalikan nya  dengan mudah  kepada pecahan semula/pecahan biasa ,dengan cara membagi  125  dengan seribu bukan ? Bagaimana kalau  pecahan decimal 0,333333… atau  0,142857…  ? apakah  333333…kita bagikan dengan 1.000.000 atau 142857 kita bagi dengan 1.000.000.000.000 ? Pasti tidak akan menyelesaikan    masalah karena angka 3 pada 0, 333333… dan  142857 pada 0,142857 tersebut berulang terus,takkan pernah berhenti,dan tidak dapat dihentikan oleh siapapun juga  sampai kesudahan alam …alias… kiamat.

Mari kita coba dengan  0,333333….. Untuk mengembalikan pecahan type yang sedemikian  sedikit lebih gampang daripada  0,142857…, dikarenakan satu digit dibelakang koma langsung berulang terus dibandingkan dengan 0,142857… ,ada enam digit dibelakang koma barulah berulang kembali. Caranya, misalkan bilangan tersebut = n, kemudian kalikan dengan 10 menjadi  10n kemudian kurangkan.

Misalkan   n  = 0,333333…, maka  10 n = 3,333333…, kemudian kurangkan:

10  n -  n   =  3,333333…   -   0,333333…

  9 n =    3 , maka  n  =  3/9  =  1/3 ( bilangan pecahan asal )

Jadi pecahan decimal sedemikian ( satu digit di belakang koma angka nya berulang terus) mudah mengembalikanya ke bentuk semula, dan dapat dipastikan  bahwa berlaku untuk semua, mulai dari 0,111111…sampai 0,999999… dan secara cepat dapat  ditentukan yaitu dengan cara angka yang berulang tersebut pembilangnya dan penyebutnya sembilan . Pastilah… 0,777777… adalah pecahan yang mana pembilangnya 7 dan penyebutnya  9  atau  7/9  .

Bagaimana jika  0,142857…  =   …. Menjadi pecahan biasa  ? Boleh kita coba dulu: bilangan 100  kita bagikan dengan bilangan 14 ( jika dua digit dibelakang koma ),bilangan 1000 untuk  3 digit , 10000 untuk empat digit  dst, contoh;  kalau  7 x 14 = 98 , 8 x 14 = 112 , maka yang paling dekat adalah  7, kemudian tambahkan  1 (satu)  menjadi  8 ( delapan ) kemudian kalikan ke pecahan decimal tersebut, kemudian kurangkan seperti cara sebelumnya  :

Misalkan, n   =    0,142857…  maka ,   =  7 , tambahkan 1 menjadi 8, kalikan dengan bilangan tersebut , maka     8  n   =  8 x 0,142857…  = 1,142857…  kemudian kurangkan ,

 8  n   -  n   =  1,142857 – 0,142857

 7  n             =  1  maka bilangan pecahan biasa tersebut adalah  =  n  = 1/7

Contoh   :    0,027027… =  ?     1000/27  = 37  ,  maka pecahan tersebut adalah 1/37  

                      0,010989… =  ?   1000/109  = 91 ,  maka pecahan tersebut adalah   1/91

                    Tapi agak sulit  jika angka yang berulang 6 digit seperti contoh tersebut, contoh nya; 0,974358..  kita harus jeli apakah 0,974358 merupakan kelipatan pecahan yang lebih sederhana tadi ,yang jelas kalau enam digit berulang maka pastilah merupakan kelipatan. Kalau disuruh buktikan   0,974358…  =   38/ 39 itu tidak masalah,  seperti cara yang diatas saja sudah cukup yaitu, penyebutnya 39  ,tambahkan 1 menjadi 40 kalikan ke pecahan tersebut kurangkan , selesai.

       n        =  0,974358…, 40  n  = 40 x 0,974358…, kurangkan …  39  n  =  38 , maka  n  =  38/39        

Untuk sedikit membantu inilah daftar nilai beberapa pecahan  mulai dari satu dari dua bagian      ( ½ ) sampai satu dari seratus bagian ( 1/100) yang nilai pecahan nya merupakan angka ber ulang dari      1 -6 digit adalah :

       1/3   = 0,333333…                  1/7  = 0,142857…       1/9  = 0,111111…         1/11  =  0,0999999…                    1/13 = 0,766923…                          1/21   =  0,047619…        1/27 =  0,037037…                 1/33 = 0,030303…                                                                                   1/37   =   0,027027…                 1/39  =  0,025641…     1/41  =   0,02439…       1/63 =  0 ,015873…             1/91  = 0,010989…                             1/99    =   0,010101…

Misalkan : 0,968253…  =   …. Lihat terlebih dahulu apakah bilangan tersebut merupakan kelipatan dari daftar bilangan tersebut, disini 0,968253  adalah   6 1 x 1/63 atau  61 x 0,015873 atau 0,968253 : 0,015873  =  61  maka pecahan tersebut merupakan kelipatan dari 0,015873 yang tentu saja hasilnya adalah bilangan  61/63  .

Catatan  :  Bilangan pecahan yang angkanya di tebalkan sebagian artinya nilai  bilangan pecahan tersebut jika dikalikan  1000 agar mempermudah/ menebak hasil  pendekatan yaitu  968 : 15 = 61.

Contoh lain misalnya: 0,121212… = …. Dalam sepintas kita melihat bahwasanya 0,121212… adalah merupakan kelipatan dari 1/33 dan 1/99, jadi 0,121212…: 0,030303 = 4 ,atau 0,121212… : 0,010101… = 12 maka kalau dia meminta kita untuk kembalikan ke asalnya maka jawabannya  :  kau akan kukembalikan sayang,  ke asal mu… karena ku kenal kau walaupun namamu tak terhingga banyaknya dan kutahu tempatmu hanya satu pada barisan bilangan  karena  kau  pastilah 4/33 atau nama lain mu 12/99.

PADA JUDUL DIATAS JAWABNYA : YES …. 61/63    -   1/21     =  58/63

Sampai jumpa pada tulisan lain,Tabik saya pada pakar-pakar,hormat saya pada  ahli-ahli,salam saya pada matematikawan,umur saya masih seumur jagung, belum tahu apa-apa, bahkan nilai matematika disekolah tidak pernah ,hanya ingin berbagi dengan sesama yang belum tahu saja ,Terimakasih yang tulus pada yang memperbaiki/ mengkoreksi kekeliruan pada postingan ini , dipakai kalau benar dan bermanfaat,kurangilah kalau berlebihan, tambahilah kalau banyak kekurangan, buanglah ke tong sampah jika  membingungkan apalagi menyesatkan. Maaf 1000 x maaf dari farlanbiring45-an @blogspot.com.                                                                                                      depok,17 maret 2011.